Distribuição Hipergeométrica

Se você é daquelas pessoas que costuma reclamar por não usar a maioria dos conceitos aprendidos na sala de aula em sua vida, é hora de começar a usar matemática pra melhorar seu nível em Yugioh.

Distribuição Hipergeométrica, apesar do nome complicado, trata-se de algo bastante simples;

"a probabilidade de se retirar x elementos do tipo A numa sequência de n extrações de uma população finita de tamanho N, com K elementos do tipo A e N-K elementos do tipo B."

h(x; N, n, k) = [ kCx ] [ N-kCn-x ] / [ NCn ]

entendi tudo!

.........Bem, talvez essa explicação acadêmica não pareça simples...vamos tentar falar do ponto de vista de um jogador de Yugioh;

"a probabilidade de comprar 1 Soul Charge , numa sequencia de 5 cartas (sua mão inicial), em um deck de 40 cartas, com 1 Soul Charge e 39 cartas que não são Soul Charge"

h(1; 40, 5, 1) = [ 1C1 ] [ 40-1C5-1 ] / [ 40C5 ] 

Ficou mais simples? Essa formula é baseada no seguinte; nós dividimos os elementos "N"
(no caso, o deck) em dois grupos; um grupo ("K") contem 1 elemento (que é a Soul Charge). o outro grupo é o resto do deck (N - K, ou seja, 39); sacar algo do grupo K é considerado um sucesso, e o resto é um fracasso.

Ou seja, no bom e velho português; essa fórmula esta simplesmente perguntando; quais são as chances que eu tenho de comprar 1 Soul Charge, no meu deck de 40 cartas que contem 1 Soul Charge, nas minhas 5 primeiras sacadas? Como isso não é aula de matemática, não vou gastar tempo ensinando a resolver a fórmula...ao invés disso vamos usar a internet pra fazer isso por nós; no seguinte Link você encontrará uma calculadora hipergeométrica, basta colocar as variáveis e o resultado sai prontinho;

http://www.geneprof.org/GeneProf/tools/hypergeometric.jsp

"Population size" é o tamanho do seu deck

"Number of successes in population" é a quantidade de copias que existem no seu deck da carta X que você quer calcular

"Sample size" é o numero de cartas ue você vai comprar pra fazer o teste (por exemplo, 5 se for testar sua mão inicial)

"Number of successes in sample" é quantas copias da carta X vc quer calcular a probabilidade de sairem na sua mão  (por exemplo, se quiser calcular a probabilidade de comprar DUAS Soul charges nas primeiras 5 cartas, coloque 2 aqui)
(e sim, eu sei que Soul charge é limitada...)

colocando as variáveis para nossa formula da soul charge lá em cima, chegamos a esses resultados:

P(X >= 1) = 0.12500000000000003.
P(X = 1) = 0.12500000000000003.

Vamos ignorar os números após o "2" pra ficar mais fácil. esses resultados estão nos dizendo o seguinte:

"sua chance de comprar 1 ou mais Soul Charge(s) nas 5 primeiras cartas é de 12%"
"sua chance de comprar exatamente 1 Soul Charge nas 5 primeiras cartas é de 12%"

Nosso deck tem apenas uma Soul Charge, então obviamente as chances de comprar "uma ou mais" vão ser as mesmas de comprar "exatamente uma". Afinal, em pratica, o que todas essas contas estão nos dizendo? aplicando a probabilidade percentual, isso significa que, em media, você vai comprar sua Soul Charge na primeira mão em 1 a cada 9 ou 10 jogos.

Pra ilustrar como ter consciência desses conceitos pode te ajudar, vamos usar o meu deck de Plant Synchro que eu usei pra vencer o ultimo torneio aqui na região (a final contra Nekroz e o deck profile você encontra aqui no site). Vamos agora aprofundar um pouco mais; eu não quero calcular minhas chances de abrir com uma certa carta,quero calcular minhas chances de ter uma jogada forte no primeiro turno. Para fazer isso é essencial que você tenha bastante conhecimento das jogadas seu deck. Isso não é algo que eu posso te ensinar nesse artigo..mas é algo que você ja deve ter como objetivo de qualquer forma. No meu deck de plant synchro por exemplo; para abrir com uma jogada boa, (geralmente) é importante que eu tenha alguma das seguintes cartas na minha mão no primeiro turno:

Lonefire Blossom, Mathematician, Jurrac Dino

Vamos então calcular nossas chances de abrir com alguma dessas cartas;

Meu deck contem 40 cartas, porém 3 delas são upstart goblins. Upstart goblin , a não ser que você esteja de frente com um Naturia Beast ou algo parecido, não conta como carta para calculos desse tipo; é uma ativação incondicional que simplesmente vai imediatamente se tornar a próxima carta do deck..então ele estar ou não estar la, para nossas contas, é indiferente. Portanto, o numero de cartas no nosso deck (population size) será 37

Agora, o numero de cartas que resultam em  "sucesso". o deck contem 2 Lonefire Blossoms (era semi limitada ainda) , 3 Mathematicians e 1 Jurrac Dino. isso nos dá um total de 6 cartas. Porem, não paramos por aí; também existem no deck 3 Fossil digs. Essas cartas nos dão acesso ao Jurrac dino quando necessário, portanto para os cálculos, podem contar como copias extras dele. Chegamos a um total então de 9 cartas para o "number of successes in population", Vamos às contas; temos 9 chances de sucesso em um deck de 37 cartas, comprando 5 vezes. Aplicando a formula, chegamos a este resultado:

P(X >= 1) = 0.7745338921809513.
P(X = 1) = 0.422748952160717.

Ou seja, minhas chances de comprar exatamente 1 dessas cartas na minha mão inicial é de 42%. minhas chances de comprar 1 ou mais delas, é de 77%. esse segundo numero é o mais importante, pois comprar mais de uma dessas cartas geralmente não apresenta problemas. A fossil dig me da acesso ao gilasaurus alem do dino, e tanto a lonefire quanto o matemático me abrem um leque de opções. Isso significa que em quase 8 a cada 10 jogos, em media, eu vou ter pelo menos uma ou mais das cartas que eu quero abrir em minha mão. os cálculos não param por ai...existem outros cálculos que envolvem a chance de sair alguma jogada sem eu ter nenhuma  dessas 9 cartas. mas o importante é que, em geral, eu vou ter uma mão boa pelo menos 80% das vezes que eu jogar; este é um ótimo numero para se ter como objetivo. nenhum deck é 100% consistente (sim, nem mesmo os dragon rulers eram), então se aproximar o máximo possível disso tende a ser nossa meta.

A presença do Jurrac Dino que parecia completamente aleatória a principio nesse deck, se torna clara como o dia quando aplicamos distribuição hipergeométrica; adicionando uma unica carta ao deck eu aumentei extremamente minhas chances de abrir com algum combo , já que as Fossil digs já eram usadas para buscar os Gilasaurus de qualquer forma...de cinco chances de "sucesso", pulamos para nove.

Essa fórmula pode ser usada pra calcular uma infinidade de possibilidades, e, mais em frente, você pode inclusive combinar vários cálculos para chegar a um numero mais generalizado sobre a consistencia do seu deck. você usa Six samurai e quer saber as suas chances de comprar (ou ter acesso a) 1 ou mais Kagemushas na sua mão inicial? Some suas smoke signals e reinforcements aos kagemushas, diminua do numero total do deck cartas que não contam como cartas (tipo a upstart goblin) e faça as contas.

Fazer este tipo de teste ajuda muito no seu conhecimento sobre seu deck, melhora sua consistência e te deixa mais confiante na hora de jogar; Isso pode também ser facilmente aplicado a qualquer outro card game, Você joga Magic e quer saber quais suas chances de comprar 2 ou 3 terrenos na sua mão inicial de 7 cartas? Faça os cálculos e tenha certeza em vez de ficar testando em uma mesa varias vezes contra um oponente fantasma.



Até a próxima!   -Igor Yazawa (Itachi)